Das Grundproblem: Die Knappheit der Güter

 

Wirtschaften

Lineare Programmierung

Die optimale Alternative finden !

Die Schülerorganisation möchte am Mittag Wurstbrote verkaufen. Damit diese nicht zu teuer verkauft werden müssen, beschliesst man, dass Wurst und Brot zusammen nicht mehr als Fr. 2.-- kosten dürfen. 100 g Spezialbrot bekommt man zu Fr. --.50, 100 g Wurst kosten Fr. 1.60. Man ist der Ansicht, die Wurstbrote sollen möglichst nahrhaft sein, deshalb mindestens 750 Kalorien aufweisen und mindestens 40 g Eiweiss enthalten. 100 g Brot hat 250 Kalorien, 100 g Wurst 500 Kalorien. Der Eiweissgehalt des Brotes ist 10 % seines Gewichts. Wurst enthält 40 % Eiweiss.

Die lineare Programmierung ist eine Optimierungsrechnung. Sie arbeitet mit mathematischen Entscheidungsmodellen. Sie ermöglicht es, Entscheidungen so zu treffen, dass Optimalwerte für wirtschafliche, technologische oder organisatorische Prozesse erreicht werden können. Es kann für eine Zielgrösse einerseits das Maximum (z.B. der höchste Gewinn), anderseits das Minimum (z.B. die tiefsten Kosten) unter gegebenen einschränkenden Bedingungen (z.B. gegebener Marktpreise) ermittelt werden.

Beispiel:

Es soll das billigste Wurstbrot hergestellt werden, das aber die gewünschte Menge an Kalorien und der gewünschte Eiweissgehalt aufweist. Für einen Betrieb ist das Produktionsprogramm so aufzustellen, dass die Herstellung der vorgesehenen Produkte unter Einhaltung der Kapazität der Werkstätten einen maximalen Reingewinn erbringt. . Güter sollen mit möglichst geringen Transportkosten mit einem gegebenen Bestand an Lastwagen und vorgeschriebenen Transportgeschwindigkeiten vom Hersteller zu Verbrauchern transportiert werden.

Vorgehensweise:

1. Schritt: Das Optimierungsproblem wird verbal formuliert.

Es soll das Optimum zwischen Kosten und Nahrhaftigkeit gefunden werden.

2. Schritt: Die Modelldaten werden in einer Tabelle zusammengestellt.

 

x
Wurst je 100 g

y
Brot je 100 g

Sandwich

Kosten Fr. 1.60Fr. 0.50Fr. 2.- oder weniger
Kalorien 500 Kalorien250 Kalorien750 Kalorien oder mehr
Eiweiss40 Gramm10 Gramm40 Gramm oder mehr


3. Schritt: Die Zielfunktion und die Restriktionen werden mathematisch formuliert.

Ziel: Minimale Kosten
1,6x + 0,5y <= 2
Restriktionen: Kalorien, Eiweissgehalt
500x + 250y >= 750
40x + 10y >= 40
Negativbedingungen
x >= 0
y >= 0


4. Schritt: Mit Hilfe mathematischer oder grafischer Verfahren wird das Optimum bestimmt.

Grafik:


Resultate:

Brotmenge: 200g
Wurstmenge: 50 g
Kosten des optimalen Sandwich: 0.50 x 1.60 + 2.00 x 0.50 = 1.80
Eiweissgehalt: 0.50 x 0.4 + 2.00 x 0.1 = 0.40
Kalorien: 0.50 x 500 + 2.00 . 250 = 750



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